By Wilhelm Specht (auth.)
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Die Kunst zu überzeugen: Faire und unfaire Dialektik
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Satz 29. Fur eine Untergruppe U der Gruppe @ ist der Durchschnitt uber GE@ der maximale in U enthaltene Normalteiler von @, das Kompositum uber GE@ der minimale U umjassende Normalteiler von @. Beweis. Aus ';D~UG folgt ';DH <;: n UGH = ';D ';DH <;: UGH; - -G fUr jedes HE @; mithin ist ';D normal in @. Ein in U enthaltener Normalteiler erftillt ftir j edes G E@ 91 = 91G~ UG, also 9C ~ n UG= ';D . 91~1 @ Die Vereinigung l8* = UUG tiber GE@ ist wegen G ~*H = (~ UGt = ~ UGH = l8* flir jedes HE@ ein normaler Komplex, die Gruppe l8 = {~*} also nach Satz 2) normal in @.
Genauer laBt sich zeigen: Besitzt die Gruppe ® ein unendliches Erzeugendensystem S"t' der M achtigkeit m, so ist auch @ von der M achtigkeit m. 2. Die Untergruppen einer Gruppe Denn jedes Element G E @ besitzt wenigstens eine endliche Darstellung e. = ± 1 fur 1;;;;;:' v :;;;, n, G = K~'K~' ... K~n mit K. E sr; so daB @ nicht von gr6Berer Machtigkeit als sr ist. Ein endlicher Komplex sr aus einer Gruppe @ kann eine endliche oder unendliche Untergruppe {S'r} erzeugen. Insbesondere erzeugt ein Element GE@ eine zyklische Untergruppe {G} der Ordnung ord(G).
Beweis. Die Aussage tiber absteigende Halbverbande ist in Satz 2 enthalten; fUr einen aufsteigenden Halbverband M sind Elemente U1 , U2 Egs=UU in Untergruppen U1 bzw. U2 aus M, also U1 U2- 1 in {U1u U2 } ~ gs enthalten. Definition 1. Ein absteigender Halbverband M von Untergruppen U einer Gruppe @ ist (nach unten) abgeschlossen, wenn er den Durchschnitt :tl = n U aller U ntergruppen U einer jeden Teilmenge N ~ M enthalt. 2. Die Untergruppen einer Gruppe 32 Ein aufsteigender Halbverband M von Untergruppen U einer Gruppe ist (nach oben) abgeschlossen, wenn er das Kompositum {U U} aller Untergruppen U einer jeden Teilmenge N~M enthiilt.