By Anton Hossner
Das vorliegende Lehr- und Ubungsbuch enthalt im wesentlichen die hohere Mathematik in jenem Umfang, der an den technischen und gewerblichen Lehranstalten auf Grund der Lehrplane vorgesehen ist, behandelt aber gleichzeitig eine Reihe elementarer Fragen und Aufgaben, die sich zwanglos hier einfugen lassen. Vorausgesetzt werden nur die Grundtatsachen der Elementarmathematik einschliesslich der analytischen Geometrie und eine gewisse Gewandtheit 1m Rechnen mit algebraischen und goniometrischen Ausdrucken. Selbstverstandlich ist vom Gesamtstoff des Buches, das die Bedurfnisse der verschiedenen Fachabteilungen berucksichtigt, manches fur die eine oder andere Fachrichtung entbehrlich. Ausser dem geht das Buch stellenweise, besonders aber in den Schlusskapiteln, uber das Ausmass dessen hinaus, was once an den genannten Schulen durchgenommen werden kann; soll es doch den Absolventen in die Praxis hinausbegleiten, wo er oft genug einer mathematischen Nach- und Weiterschulung bedarf. Das Buch will aber auch dem Autodidakten dienen und ihm den Anschluss an seine vielleicht etwas durftigen Vorkenntnisse sichern. Ihm werden die mit den Entwicklungen des ersten Abschnittes verknupften Wiederholungen ebenso willkommen sein, wie der Abriss im Anhang uber das Rechnen mit dem Rechenschieber und mit komplexen Zahlen. Trotz de: elementaren Charakters dieses Buches erfordert die knappe Darstellung vom Studierenden eine konzentrierte Mitarbeit mit dem Bleistift in der Hand, besonders was once die Ubungen anlangt. Diese sind zum Teil reine Ubungsaufgaben, die auch das numerische Rechnen entsprechend berucksichtigen, zum Teil erganzen sie den Stoff oder bereiten das Verstandnis spaterer Abschnitt
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Lg v a = -- lg a. n In Abb. 28 ist die logarithmische Leiter in Verbindung mit einer gleichmäßigen Skala gezeichnet. •j§; Abb. 28. Die loga rithmische Leite r. gleichmäßigen Teilung; beispielsweise lg 4·6 = 0·66. Da lg 10 a = = lg 10 + lg a, so ist z. B. die Marke 30 von der Marke 10 ebenso weit entfernt wie 3 von 1, nämlich lg 3 Einheiten. Daraus folgt die Kongruenz der logarithmischen Leiter von l bis 10 mit der von 10 bis 100 usw. Diese logarithmischen Teilungen finden außer beim Rechenschieber auch in der Nomographie ausgedehnte Anwendung.
Ctx an den Stellen xl' :t·2 und x3 • x, Der Index x1 soll andeuten, daß die Bildung des Quotienten _ddy_ an der Stelle x1 zu erfolgen hat. , X .... Die einzelnen Strecken dx können an den Stellen x 1 , x 2 , x 3 , •••• gleich oder verschieden groß gewählt werden; a3 ist stumpf, ( ~~· ) "'• negativ. Das Mitführen der Indizes ist aber lästig, wir wollen daher die Stelle, an der wir die Steigung der Tangente bestimmen, einfach mit x bezeichnen, den Neigungswinkel mit a und erhalten somit [I :! = tg a I· (*) Die Größe dx heißt das Differential des Argumentes x, dy das Differential der Funktion y und Differentialquotient oder Ableitung der Funktion y = f (x) an der Stelle x.
In der graphischen Darstellung kommt dieser Sachverhalt dadurch zum Ausdruck, daß die Fortsetzungen der Sinus- und Kosinuslinie nach rechts über 2 :rc hinaus (und ebenso nach links über 0 hinaus) mit den zwischen 0 und 2 n gezeichneten Teilen kongruent sind. Man nennt eine F unktion mit einem derartigen Verhalten periodisch. Sinus 1m d Kosinus sind infolgedessen periodische Funktionen mit der P eri ode 2 :n:. •• ; man nennt das Intervall 2 :rc, welches die kleinste unter diesen Perioden vorstellt, die primitive Periode.