By H Wittich
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Wegen 2) sind aber nicht alle Gebiete mit positiver Randkapazität zugelassen; es scheiden diejenigen Gebiete aus, für welche nicht g (z) = - y (z) ~ 0 für alle Randpunkte C gilt. Ist G ein zulässiges Gebiet mit positiver Kapazität, so darf c = 0 gesetzt werden. Im folgenden soll w (z) in G eindeutig analytisch sein. Durch g(z) < A. wird ein Teilgebiet GA von G erklärt; für A. ~ 0 bzw. oo schöpfen die Gebiete GA das Existenzgebiet G von w = w (z) vollständig aus. , a) = 21"' J log rJ.. [w~ a] d h, h (z) die zu g (z) kon- III.
Ergänzungen. 49 jugiert harmonische Funktion und rA der Rand von GA, gilt für zwei beliebige komplexe Zahlen a und b _ 1 J'" [w, b] . , b)- 2i" log [w, aJdh, r;,. Differentiation nach A. ergibt d( dJ. , a). , a) ist gleich der Zahl der a-Stellen von w (z) auf dem Bereich G;, F;,. Integration nach g von A. 0 bis A. (- oo < A. , a)]1. , b}]1•. Dabei wird die. , c)) = J (g, c) ),. gilt. , c) = n dg 0 + n A. + k 0 der Fall; k ist eine -oo passende Konstante und n 0 gibt die Vielfachheit der c-Stelle z0 an.
Lim Zn = oo. Ist t = h (z) eine in I z I < oo fl-+00 meromorphe Funktion mit den Polstellen z1 , z2 , • • • und die nichtrationale Funktion F(t) eindeutig analytisch in ltl < oo, dann hat w = w (z) =F (h (z)) die Stellen z1 , z2 , ••• zu wesentlichen Singularitäten. Nunmehr bedeutet n (r) die Anzahl der auf Iz I·~ r gelegenen Stellen z1 , Jn~t) dt. Der Grenzexponentader Folge lz 1heißt die Häur N(r) = 1 o fungsordnung von w (z) • Da sich die z1 nicht im Endlichen häufen, kann man zu jeder singulären Stelle z1 die NEVANLINNAsche Charakteristik fj (e;) (für die Ausschöpfung Iz - z1I = e; ~ 0) bilden und damit die Ordnung L1 = lim logT; (et) von w (z) in der Umgebung 11;-+0 -lOilO< 52 .